Dasar-Dsar Induksi Matematika

Dasar-Dasar Induksi Matematika

A.      Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A   S(n) dengan A Ì N  dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.

B.     Prinsip-prinsip Induksi Matematika

a.  Induksi Sederhana.

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1.      Jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat  positif n ³ 1,

2.      p Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.

3.      p Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. 

4.      p Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Penyelesaian:

(i)    Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii)   Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan

            1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

     1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1)

= n2 + (2n + 1)

= n2+ 2n + 1

= n1

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. 

b. Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1. p(n) benar, dan

            2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,

               untuk semua bilangan bulat n ³ n=0,

Contoh 2.

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1

Penyelesaian:

(i)       Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita  peroleh:

20 = 20+1 – 1.

Ini jelas benar, sebab 20 = 1

= 20+1 – 1

= 21 – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

                        20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

                        20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)

                                                                                                =  (2n+1 + 2n+1) – 1

                                                                                                = (2 . 2n+1) – 1

                                                                                                = 2n+2 - 1

                                                                                                = 2(n+1) + 1 – 1  

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

c.   Prinsip Induksi Kuat

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(n0) benar, dan

2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n0.

Contoh 4.

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Penyelesaian:

Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

(a)           Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

(b)          Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain,

(n + 1)/ a = b   atau (n + 1) = ab

yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £ n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab. Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

C.   Pengertian Teori Binomial

Teori binomial merupakan perpangkatan dari jumlah atau selisih dua suku tanpa mengkalikan atau menjabarkannya , yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan oleh tanda “+” , atau tanda “-“ sebagai contoh x+y, 2x-5y.

a.   DasarTeori Binomial

Untuk mengetahui binomial ada beberapa materi yang harus dikuasai terlebih dahulu.Diantaranya :

1. Notasi Faktorial (!)

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk setiapbilangan asli n, didefinisikan:

n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x (n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2 n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 ×

Contoh :

2! = 1∙2 = 2,            3! = 1∙2∙3 = 6 4! = 1∙2∙3∙4 = 24

5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120,           n! = 1∙2∙3…n, (r – 1) ! = 1∙2∙3…(r – 1)

2. Kombinasi

Susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Kombinasi r elemendari n elemenditulis :

nKr

                                    

D.  Teori Binomial

a.  Ekspansi

Ekspansi merupakan salah satu penjabaran yang terdapat dalam Teori Binomial Newton.Ekspansi atau yang sering kita sebu tpenjabaran adalah cara menguraikan soal-soal teori binomial yang berbentuk perpangkatan dari hasil perkalian berulang. Misalnyauntuk n = 1,n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, dengan mengkalikansetiap factor diperoleh hasi l2orekspansi sebagai berikut :

Ciri-ciri ekspansi yang benar untuk bilangan bulat positif

1.      Banyak suku di ruas kanan adalah satu suku lebih banyak daripada pangkatnya atau eksponennya. Hal ini memberikan gambaran ekspansi  suku.

2.      Suku pertama dari    adalah  dan suku terakhir adalah

3.      Perhatikan hasil ekspansi pada ruas kanan. Jika dibaca dari kiri ke kanan, eksponen dari a berkurang 1 dan eksponen untuk b bertambah 1.

b.  Koefisien Binomial

Koefisian adalah nilai atau ketetapan, koefisien binomial merupakan nilai yang terdapatdi depan suku-suku binom yang sudah di ekspansikan. Untuk mengetahui koefisiennya, harus diekspansikan terlebih dahulu.Dan untuk mengekspansikannya tinggal mengkalikan sesuai dengan eksponennya atau mengikuti aturan dalam segitiga pascal.Namun, bukan berarti untuk mengetahui koefisiennya hanyam engikuti nilai-nilai yang terdapat dalam segitiga pascal.Karena hal tersebut dianggap kurang efisien, maka untuk mengetahui koefisiennya ada formula yang lebih efisien sebagai berikut :

Xn-r . yr =  . an-r . br

d.  Menetukan Suku Pada Binom

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya mengenai teori binomial yang merupakan perpangkatan  yang terdiri dari dua suku yang dipisahkan oleh tanda “+”, “-“. Berdasarkan pengertian tersebut kita dapat mengubah dari binom yang bentuknya pangkat menjadi tidak berpangkat dengan cara menjabarkannya.Sehingga yang awalnya terdiri dari dua suku menjadi lebih dari dua suku.

Sekian Dari saya mengenai DASAR-DASAR induksi matematika
terima kasih telah mengunjung blog saya
dan sampai jumpa